Définition
\(\triangleright\) Définition du produit scalaire
Le produit scalaire est une opération algébrique s'appliquant aux vecteurs.
Il associe à deux vecteurs un scalaire.
On le note: - \(\langle{x|y}\rangle \)
- \(x.y\)
Produit scalaire canonique
\(\triangleright\) Définition du produit scalaire canonique
On définit le produit scalaire canonique comme:
$$\langle{x|y}\rangle ={{\sum_{i=1}^nx_iy_i}}$$
Propriétés
\(\triangleright\) Bilinéarité du produit scalaire
Soit \(\Phi;E\times E\to\Bbb R\) un produit scalaire- \(\Phi\) linéaire à gauche: \(\Phi(\lambda x_1 +\mu x_2,y)=\lambda \Phi(x_1,y)+\mu \Phi(x_2,y)\)
- \(\Phi\) linéaire à droite: \(\Phi(x,\lambda y_1 +\mu y_2)=\lambda \Phi(x,y_1)+\mu \Phi(x,y_2)\)
On dit alors que le produit scalaire est bilinéaire
\(\triangleright\) Symétrie du produit scalaire
Soit \(\Phi;E\times E\to\Bbb R\) un produit scalaire
$$\Phi(x,y)=\Phi(y,x)$$
On dit que le produit scalaire est Symétrique
\(\triangleright\) Valeurs positives du produit scalaire
Soit \(\Phi;E\times E\to\Bbb R\) un produit scalaire
$$\Phi(x,x)=0\implies x=0$$
$$\Phi(x,x)\neq 0$$
Caractéristiques
- \(\vec u . \vec u={{a_1^2 +a_2^2= ||\vec u||^2}}\)
- \(\vec u^\perp . \vec u= {{0}}\)
\(\triangleright\) Lien entre norme et produit scalaire
La norme peut être déterminée grâce au produit scalaire
$$\langle{x|x}\rangle =||x||^2$$
Théorèmes
> Théorème:
> $$\vec u .\vec v= ||\vec u||.||\vec v||.cos( {\vec v.\vec u}^{\angle})$$
\(\vec u .\vec v= {{a_1b_1+a_2b_2=||\vec u||.||\vec v||.cos( {\vec v.\vec u}^{\angle})}}\)
\(\longrightarrow\) \(a_1={{||\vec u||\cos\varphi_\vec u}}\)
\(\longrightarrow\) \(a_2={{||\vec u||\sin\varphi_\vec u}}\)
\(\vec u .\vec v= {{||\vec u||.||\vec v||(\cos\varphi_\vec u.\cos\varphi_\vec v + \sin\varphi_\vec u . \sin\varphi_\vec v)}}\)
\(\implies\) \(\vec u .\vec v= ||\vec u||.||\vec v||.cos( {\vec v.\vec u}^{\angle})\)
Inégalité de Cauchy-Schwarz
#
\(\triangleright\) Corollaire:
1) \(\vec u. \vec v ={{||\vec u||^2}}\)
2) \(\vec u. \vec v =0\) si et seulement si \(\vec u \perp \vec v\)
3) \(cos( {\vec v.\vec u}^{\angle})={{\frac {\vec u .\vec v}{||\vec u||.||\vec v||} }}\)
Extensions
Produit scalaire Hermitien
